Komplexe Zahlen Beweis (Analysis)?
Hey,
ich habe in Mathe eine Hausaufgabe bekommen und komme einfach nicht weiter, bin richtig verwirrt
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich geschafft, nur den zweiten Teil krieg ich nicht hin. Habe die Gleichung in die pq-Formel gesetzt und z1= i und z2= -2a + i raus. Jetzt weiß ich leider nur nicht was ich mit dem Betrag w und so anfangen soll. Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke im Voraus.
5 Antworten
Wenn die Gleichung keine reellen Lösungen hat, dann zwei komplex konjugierte. Nach Vieta ist deren Produkt gleich dem Absolutglied 1, als auch deren Betrag.
wenn ich in die pq einsetze erhalte ich
-a + - wurz(a² - 1)
und
undz1= iundz2= -2a + i raus................z1+z2 müssten aber -2a sein
Wenn a € R ist ist deine zweite Lösung schlicht falsch. Denn eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat zwe konjugiert komplexe Lösungen. Damit ist auch die Frage nach dem Betrag trivial, da konjugiert komplexe Zahlen z1 und z2 immer den gleichen Betrag haben (warum?).
Was hat das mit Schule zu tun?
Nope. Meine Tochter ist gerade in der FOS13 in Bayern. Die würde zur allgemeinen Hochschulreife führen (vulgo Abitur), wenn sie eine zweite Fremdsprache hätte. Komplexe Zahlen hat sie nicht :-).
Mit der quadratischen Ergänzung zu arbeiten ist viel erhellender als mit der schrecklichen "p,q-Formel"...
Es gilt z²+2az+1 = (z+a)² - a² +1, also ist
z²+2az+1 = 0 äquivalent zu (z+a)² = a²-1.
Daran siehst du schon mal, dass für eine Lösung w auch deren konjugiert-komplexe Zahl w' eine Lösung sein muss: Dazu musst du nur auf die Gleichung (w+a)² = a²-1 auf beiden Seiten das komplexe Konjugieren anwenden und beachten, dass das ein Körperautomorphismus ist und sich folglich auf die Werte w, a, 1 "herunterziehen" lässt; dabei ändert sich an a und 1 garnix, weil die reell sind. Du erhältst also einfach (w'+a)² = a²-1.
Reell lösbar ist die Gleichung genau dann, wenn a²-1 nicht negativ ist, d.h.: genau dann, wenn |a| >= 1 ist. Also ist sie nicht reell lösbar genau dann, wenn |a| < 1 gilt.
Sind w, w' dann die beiden Lösungen in C, so muss gelten:
z²+2az+1 = (z-w)·(z-w'),
also w+w' = -2a, ww' = 1. Nun ist aber (ganz allgemein)
ww' = |w|²,
folglich |w|=1 (ebenso = |w'|).
(Die Aufgabe ist schon recht witzig...)
Man kann sich selbstverständlich kürzer fassen. Aber vielleicht nutzen Dir die Schritte?
Eine der Lösungen ist flasch.
Das mit den Beträgen sind einfach nur Spielerein mit Definitionen. Das gilt immer so (das mit den Beträgen).
Zwei Lösungen Beweis:
z² + 2 * a * z + 1 = 0 | -1
z² + 2 * a * z = -1 | +a²
z² + 2 * a * z + a² = a² - 1
(z + a)² = a² - 1 | sqrt
|z + a| = sqrt(a² - 1)
z + a = ±sqrt(a² - 1) | -a
z = -a ± sqrt(a² - 1)
z = -a ± sqrt(-(-a² + 1))
z = -a ± sqrt(-1 * (-a² + 1))
z = -a ± sqrt(-a² + 1) * sqrt(-1)
z = -a ± sqrt(-a² + 1) * i
z_{1} = -a + sqrt(-a² + 1) * i
z_{2} = -a - sqrt(-a² + 1) * i = z_{1, konjugiert}
|z| = |z_{konjugiert}|
|z_{1}| = |z_{2}|
Probe:
z_{1} + z_{2} = -a + sqrt(-a² + 1) * i + -a - sqrt(-a² + 1) * i = -a + -a + sqrt(-a² + 1) * i - sqrt(-a² + 1) * i = 2 * -a + 0 = -2 * a
Die Schule des Lebens : und kennst du Bayern ? die ziehen son harten Stoff auch in der Schule durch .
Hilft vielen , damit sie im M-Studium keine Probleme mit den komplexen Zahlen haben.